Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {4;8;12} \right)\) và bán kính \(R\) thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(R\) sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua \(O\) và góc giữa chúng không nhỏ hơn \({60^ \circ }\) ?

Câu 651249: Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {4;8;12} \right)\) và bán kính \(R\) thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(R\) sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua \(O\) và góc giữa chúng không nhỏ hơn \({60^ \circ }\) ?

A. 6.

B. 2.

C. 10.

D. 5.

Câu hỏi : 651249

Phương pháp giải:

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử 2 tiếp tuyến \(OA,OB\), theo giả thiết suy ra \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) \ge {60^ \circ }\). Suy ra \({30^ \circ } \le \widehat {AOH} \le {60^ \circ }\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(H\left( {0;8;12} \right)\), suy ra \(OH = 4\sqrt {13} \)
Xét tam giác \(OAH\) có: \(HA = OH{\rm{sin}}\widehat {AOH} \ge 4\sqrt {13} {\rm{sin}}{30^ \circ } = 2\sqrt {13} \)
Ta có \(2\sqrt {13} \le HA < 2\sqrt {39} \Rightarrow 52 \le A{H^2} \le 156\)
\( \Rightarrow 52 + 16 \le A{H^2} + I{H^2} \le 156 + 16\)
\( \Rightarrow 68 \le I{A^2} \le 172 \Rightarrow 68 \le {R^2} \le 172\) hay \(8,24 \le R \le 13,11\).
Do \(R\) là số nguyên \( \Rightarrow R \in \left\{ {9;10; \ldots ;13} \right\}\).
Vậy có tất cả 5 giá trị của \(R\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.