Tìm a, b biết: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2{x^2} + (a + 2)x + b}}{{{x^2} - 3x}} = 1\) b)

Câu hỏi số 651646:

Vận dụng

Tìm a, b biết:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2{x^2} + (a + 2)x + b}}{{{x^2} - 3x}} = 1\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{{x^3} - 3x + 2}}(a,b \in \mathbb{R})\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:651646

Phương pháp giải

Khử dạng vô định về \(0/0\)

- Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ bậc cao nhất của biến số \(x\) trong mẫu thức. Nếu \(f(x),g(x)\) có chứa biến \(x\) trong dấu căn thức thì đưa \({x^k}\) ra ngoài dấu căn (với \(k\) là số mũ bậc cao nhất của \(x\) trong dấu căn).

- Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

Giải chi tiết

a) Đặt \(f(x) = 2{x^2} + (a + 2)x + b \Rightarrow f(3) = 0\)

Khi đó \(f(x) = (x - 3)(2x - m) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2{x^2} + (a + 2)x + b}}{{{x^2} - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{(x - 3)(2x - m)}}{{x(x - 3)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2x - m}}{x} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{6 - m}}{3} = 1 \Leftrightarrow m = 3\)

Suy ra \(f(x) = (x - 3)(2x - 3) = 2{x^2} - 9x + 9 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 9}\\{a = - 11}\end{array} \Rightarrow a - b = - 20} \right.\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{{{(x - 1)}^2} \cdot (x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(a - b){x^2} - 4bx - 3}}{{{{(x - 1)}^2} \cdot (x + 2) \cdot \left( {\sqrt {a{x^2} + 1} + bx + 2} \right)}}\)

Đề tồn tại giới hạn \( \to \) nhân tử \({(x - 1)^2}\) bị triệt tiêu \( \Rightarrow \dfrac{{a - {b^2}}}{1} = \dfrac{{ - 4b}}{{ - 2}} = \dfrac{{ - 3}}{1}\)

\( \Rightarrow b = - \dfrac{3}{2}\) và \(a = {b^2} - 3 = {\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)^2} - 3 = - \dfrac{3}{4}\). Vậy \({a^2} + {b^2} = \dfrac{9}{{16}} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{{45}}{{16}}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.