Tìm các bộ số \((a,b)\) là các số nguyên dương, thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty

Câu hỏi số 651652:

Vận dụng

Tìm các bộ số \((a,b)\) là các số nguyên dương, thỏa mãn

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \dfrac{7}{{27}}\). Biết \(a + b = 29\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:651652

Phương pháp giải

Thêm bớt hạng tử để tính giới hạn.

Giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + 3x + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{9{x^2} + ax - 9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x}} + \dfrac{{27{x^3} + b{x^2} + 5 - 27{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{ax}}{{\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x}} + \dfrac{{b{x^2} + 5}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + 3x\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{a}{{ - \sqrt {9 + \dfrac{a}{x} - 3} }} + \dfrac{{b + \dfrac{5}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{5}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{27 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{5}{{{x^2}}}}} + 9}}} \right) = \dfrac{a}{{ - 6}} + \dfrac{b}{{27}} = \dfrac{7}{{27}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 9a}}{{54}} + \dfrac{{2b}}{{54}} = \dfrac{{14}}{{54}} \Leftrightarrow 2b - 9a = 14\).

Ta được các bộ số thỏa mãn là \((25;4)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.