Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như hình dưới đây: a)

Câu hỏi số 652131:

Thông hiểu

Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như hình dưới đây:

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:652131

Phương pháp giải

a) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua tính chất góc bẹt: nếu \(\angle ABD + \angle DBC = 180^0\) thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.

b) Chứng minh ACDE là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau.

c) Diện tích hình thang ACDE bằng \(\dfrac{1}{2}.(ED + AC).EH\)

Giải chi tiết

a) Do \(\Delta {\rm{ABE}},\quad \Delta {\rm{BED}},\quad \Delta {\rm{BDC}}\) là các tam giác đều

\( \Rightarrow \) \(\angle ABE = \angle EBD = \angle DBC = {60^0 }\)

Do đó, \(\angle ABC = \angle ABE + \angle EBD + \angle DBC = {60^0 } + {60^0 } + {60^0 } = {180^0 }\)

Suy ra 3 điểm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) thẳng hàng.

b) Vì \(\Delta {\rm{ABE}},\Delta {\rm{BED}}\) là các tam giác đều nên \(\angle ABE = \angle BED = {60^0 }\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // ED

Tứ giác ACDE có AC // ED nên là hình thang

Mặt khác, \(\angle EAC = \angle DCA = {60^0 }\) (do \(\Delta {\rm{ABE}},\Delta {\rm{BDC}}\) là các tam giác đều)

Do đó hình thang ACDE là hình thang cân.

c) Vẽ \(EH \bot AB\) tại H

Vì\(\Delta \)AEB đều có \(EH\) là đường cao \( \Rightarrow EH\) là trung tuyến \( \Rightarrow HB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a\)

Xét \(\Delta EHB\) vuông tại \(H\)có: \({\rm{E}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{E}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{H}}{{\rm{B}}^2}\)( định lí Pythagore)

\( \Rightarrow {\rm{E}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{E}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{H}}{{\rm{B}}^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{1}{4}{a^2} = \dfrac{3}{4}{a^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \(EH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có \(AC = AB + BC = a + a = 2a\)

Diện tích hình thang cân ACDE là:

\(S = \dfrac{1}{2}.(ED + AC).EH = \dfrac{1}{2}.(a + 2a).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\) (đơn vị diện tích)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link