Cho hình bình hành \({\rm{ABCD}}\). Đường phân giác của góc \({\rm{A}}\) cắt \({\rm{BD}}\) tại

Câu hỏi số 653241:

Vận dụng

Cho hình bình hành \({\rm{ABCD}}\). Đường phân giác của góc \({\rm{A}}\) cắt \({\rm{BD}}\) tại \({\rm{E}}\), đường phân giacs của góc \({\rm{B}}\) cắt \({\rm{AC}}\) tại \({\rm{F}}\). Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{AF}}{{FC}}\)

b) \({\rm{EF}}\parallel {\rm{AB}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:653241

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất của đường phân giác: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với cạnh kề của hai đoạn ấy.

Tính chất của hình bình hành AD = BC

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD và AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Theo câu a có \(\dfrac{{DE}}{{EB}} = \dfrac{{FC}}{{FA}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DE + EB}} = \dfrac{{FC}}{{FC + FA}}\)

Chỉ ra được DB = 2.DO và AC = 2.CO, áp dụng định lí Thales đảo.

Giải chi tiết

a) Xét. \(\Delta ABD,AE\) là phân giác của \(\angle BED\)\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{EB}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\)

Xét \(\Delta ABC,BF\) là phân giác của \(\angle COD\) \( \Rightarrow \dfrac{{FC}}{{FA}} = \dfrac{{BC}}{{AB}}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC

\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{EB}} = \dfrac{{FC}}{{FA}} \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{DE}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}\) (đpcm)

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo câu a có \(\dfrac{{DE}}{{EB}} = \dfrac{{FC}}{{FA}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DE + EB}} = \dfrac{{FC}}{{FC + FA}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DB}} = \dfrac{{FC}}{{CA}} \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{2.DO}} = \dfrac{{FC}}{{2.CO}}\) (vì AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DO}} = \dfrac{{FC}}{{CO}} \Rightarrow EF\parallel CD\) (định lí Thales đảo)

Mà \(CD\parallel AB\) (ABCD là hình thang)

\( \Rightarrow EF\parallel AB\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link