Cho tam giác \(ABC\), hai đường trung tuyến \(BM,\,\,CN\) cắt nhau tại \(G\). Gọi \(E,\,\,F,\,\,P\) lần

Câu hỏi số 653480:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\), hai đường trung tuyến \(BM,\,\,CN\) cắt nhau tại \(G\). Gọi \(E,\,\,F,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(GB,\,\,GC,\,\,BC\).

a) Chứng minh \(EF\parallel MN;NE\parallel MF\)

b) Gọi I là trung điểm của GP. Chứng minh \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:653480

Phương pháp giải

a) Chứng minh theo định nghĩa: MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\), \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\).

Từ tính chất của đường trung bình của tam giác suy ra được \(EF\parallel MN,\,\,EF = MN\), do đó MNEF là hình (dấu hiệu nhận biết: một cặp cạnh song song và bằng nhau) suy ra đpcm.

b) Chứng minh theo định nghĩa: \(EP\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\).

Từ đó chứng minh được EPFG là hình bình hành ((dấu hiệu nhận biết: một cặp cạnh song song và bằng nhau), sử dụng tính chất: GP và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra đpcm.

Giải chi tiết

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}M \in AC,\,\,MA = MC\\N \in AB,\,\,NA = NB\end{array} \right.\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel BC,\,\,MN = \dfrac{1}{2}BC\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}E \in BG,\,\,EB = EG\\F \in CG,\,\,FC = FG\end{array} \right.\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\( \Rightarrow EF\parallel BC,\,\,EF = \dfrac{1}{2}BC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF\parallel MN,\,\,EF = MN\)

\( \Rightarrow MNEF\) là hình bình hành

\( \Rightarrow NE\parallel MF\) (đpcm)

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}E \in BG,\,\,EB = EG\\P \in BC,\,\,PB = PC\end{array} \right.\) nên \(EP\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\( \Rightarrow PE\parallel BC,\,\,PE = \dfrac{1}{2}GC = GF\)

\( \Rightarrow EPFG\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \)\(EF,\,\,GP\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất)

Mà \(I\) là trung điểm của \(GP\) (GT)

\( \Rightarrow I \in EF \Rightarrow I,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link