Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0\), với m là tham số thực.

Câu hỏi số 666106:

Vận dụng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0\), với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 2} \right|\).

A. 16.

B. 14.

C. 17.

D. 15.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666106

Phương pháp giải

+ Tính \(\Delta '\).

+ TH1: \(\Delta ' > 0\), phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

+ TH2: \(\Delta ' < 0\), phương trình có 2 nghiệm phức.

Giải chi tiết

+ Phương trình \({z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0\) có \(\Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 2m = - {m^2} + 2m\).

+ TH1: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 2m > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 2\).

Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt thoả \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2m\\{z_1}{z_2} = 2{m^2} - 2m\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left| {{z_1} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} - 2 = {z_2} - 2\\{z_1} - 2 = - {z_2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = {z_2}\,\,\left( {KTM} \right)\\{z_1} + {z_2} = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2m = 4 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {KTM} \right)\).

+ TH2: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 2m < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\).

Phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = a - bi\) thoả \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2a = 2m \Leftrightarrow a = m\\{z_1}{z_2} = 2{m^2} - 2m\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left| {{z_1} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 2} \right| \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2} \right| = \left| {a - bi - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2}\) (luôn đúng \(\forall a,b \in \mathbb{R}\)).

+ Kết hợp 2 TH \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 10;10} \right)\), m nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 1;3;4;...;9} \right\}\) nên có 16 số nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.