Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC = x\) \(\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC = x\) \(\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng \(a\). Biết rằng thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{a\sqrt m }}{n}\) \(\left( {m,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Chứng minh hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
+) Chứng minh tam giác (SAC) vuông tại S, tính AC.
+) Tính BD.
+) Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH \cdot \dfrac{1}{2}AC.BD\)
Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuông góc của \(S\) trên
\((ABCD)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD \Rightarrow SH \bot (ABCD)\)
Do tam giác ABD cân tại \(A \Rightarrow H \in AC\)
Dễ dàng chứng minh được:
\(\Delta SBD = \Delta ABD(c.c.c) \Rightarrow SO = AO = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\) (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \dfrac{{SA.SC}}{{AC}} = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)
Ta có \(OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \)
\( \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD\)
Khi đó ta có: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cdot \sqrt {3{a^2} - {x^2}} = \dfrac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \dfrac{1}{6}a\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 6}\\{n = 2}\end{array} \Rightarrow m + 2n = 10} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
