Cho \(x,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 6y - 7} \right) \ge 1\). Gọi

Câu hỏi số 670640:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 6y - 7} \right) \ge 1\). Gọi \(M = {x^2} + {y^2} - 20x + 8y\). Hỏi \(M\) có thể nhận tối đa bao nhiêu giá trị nguyên?

A. \(85\).

B. \(25\).

C. \(86\).

D. \(5\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670640

Phương pháp giải

Từ \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 6y - 7} \right) \ge 1\) suy ra tập hợp (x,y) nằm trong đường tròn

\(M = {x^2} + {y^2} - 20x + 8y = {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} - 116 = M{A^2} - 116\) với \(A\left( {10, - 4} \right)\)

Từ đó xác định MA max, min và tìm GTLN, GTNN của M

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 6y - 7} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 4x + 6y - 7 \ge {x^2} + {y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 6y + 9 \le 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \le 4\end{array}\)

Suy ra \(M\left( {x,y} \right)\) nằm trên và phía trong đường tròn tâm \(I\left( {2,3} \right),R = 2\)

\(M = {x^2} + {y^2} - 20x + 8y = {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} - 116 = M{A^2} - 116\) với \(A\left( {10, - 4} \right)\)

Gọi B, C là giao điểm của AI với đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)

Khi đó MA lớn nhất khi M trùng B và nhỏ nhất khi M trùng C

Phương trình đường thẳng AI qua \(A\left( {10, - 4} \right)\) và \(I\left( {2,3} \right)\) có phương trình \(y = \dfrac{{ - 7}}{8}x + \dfrac{{19}}{4}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\\y = \dfrac{{ - 7}}{8}x + \dfrac{{19}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 7}}{8}x + \dfrac{{19}}{4} - 3} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( { - \dfrac{7}{8}x + \dfrac{7}{4}} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{113}}{{64}}{x^2} - \dfrac{{113}}{{16}}x + \dfrac{{49}}{{16}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,49 \Rightarrow B\left( {0,49;4,32} \right) \Rightarrow AB = 12,63\\x = 3,5 \Rightarrow C\left( {3,5;1,69} \right) \Rightarrow AC = 8,63\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 8,{63^2} - 116 \le M{A^2} - 116 \le 12,{63^2} - 116\\ \Leftrightarrow - 41,52 \le M \le 43,51\\ \Rightarrow M \in \left\{ { - 41, - 40,...,43} \right\}\end{array}\)

Vậy có tất cả 85 giá trị nguyên của M thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.