Cho hình chóp tứ giác đều \(ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm của đáy và \(SO = a.\)

Câu hỏi số 671370:

Vận dụng cao

Cho hình chóp tứ giác đều \(ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm của đáy và \(SO = a.\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\). Tính giá trị của \(\sin \alpha \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671370

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách từ A đến (SDC), sau đó xác định sin.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của BC, Kẻ \(OK \bot SI\)

Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{d\left( {A,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}} = \dfrac{{2d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}}\)

Dựng \(OI \bot BC\) tại \(I\), \(OK \bot SI\) tại \(K\) \( \Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OI = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OK = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét \(\Delta SOA\)vuông tại O có: \(SO = a,OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy \(\sin \alpha = \dfrac{{2d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}} = \dfrac{{2.OK}}{{SA}} = \dfrac{{2.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {30} }}.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.