Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{a\sqrt {{x^2} + 1} + 2023}}{{x + 2024}} = - \dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi số 672280:

Thông hiểu

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{a\sqrt {{x^2} + 1} + 2023}}{{x + 2024}} = - \dfrac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + bx + 1} - x} \right) = 1\). Tính \(P = 4a + b\)

A. \(P = 2\).

B. \(P = 0\).

C. \(P = 4\).

D. \(P = 3\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Nhân liên hợp để tính giới hạn

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{a\sqrt {{x^2} + 1} + 2023}}{{x + 2024}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - a\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \dfrac{{2023}}{x}}}{{1 + \dfrac{{2024}}{x}}} = - a\)

Từ giả thiết ta suy ra \(a = \dfrac{1}{2}\)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + bx + 1} - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + bx + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + bx + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{bx + 1}}{{\sqrt {{x^2} + bx + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{b + \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{1}{{x^2}}} + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{b}{2}\)

Từ giả thiết ta suy ra \(\dfrac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = 2\)

Khi đó \(P = 4a + b = 4.\dfrac{1}{2} + 2 = 4\)

Chọn C

Xem lời giải

Câu hỏi:672280

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.