Tính số nghiệm của bất phương trình sau \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \le {\log _3}\left(

Câu hỏi số 673803:

Vận dụng

Tính số nghiệm của bất phương trình sau \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \le {\log _3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 8} \right)\)

A. 0.

B. Vô số.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Chứng minh \(VT \ge VP\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 2\)

Ta có: \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \ge {\log _2}4 = 2 \left( 1 \right)\)

Vì \(x \ge 2 \Rightarrow \sqrt {x - 1} \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 8 \le 9\)

\(\Rightarrow {\log _3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 8} \right) \le {\log _3}9 = 2 \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \ge {\log _3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 8} \right)\)

Mà \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \le {\log _3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 8} \right)\)

nên \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) = {\log _3}\left( {\sqrt {x - 1} + 8} \right)\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\)

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm

Chọn C

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:673803

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.