Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu

Câu hỏi số 675015:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của cạnh \(AC\). Biết \(SB = a\sqrt 2 \).

Khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng:

Phương pháp giải

Để tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta xác định hình chiếu vuông góc của \(H\) trên mặt phẳng \((SAB)\) qua các bước sau:

- Dựng \(HI \bot AB\) với \(I \in AB\), chứng minh được \(AB \bot (SIH)\) và \((SIH) \bot (SAB) = SI\).

- Dựng \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên S I, ta chứng minh được \(SK \bot (SAB)\).

Vậy \(d(H,(SAB)) = HK\).

Giải chi tiết

Để tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta xác định hình chiếu vuông góc của \(H\) trên mặt phẳng \((SAB)\) qua các bước sau:

- Dựng \(HI \bot AB\) với \(I \in AB\), chứng minh được \(AB \bot (SIH)\) và \((SIH) \bot (SAB) = SI\).

- Dựng \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên S I, ta chứng minh được \(SK \bot (SAB)\).

Vậy \(d(H,(SAB)) = HK\).

Do \(HI//BC\) nên dễ dàng chỉ ra được \(I\) là trung điểm của A B và \(IH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},IA = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\).

Ta có \(AB \bot SI\) nên \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Do \(SH \bot IH\) nên xét tam giác vuông SIH có:

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = a\\HK = \dfrac{{SH . HI}}{{SI}} = \dfrac{{a . \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\end{array}\)

Do vậy, ta có \(d(H,(SAB)) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:675015

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.