Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu

Câu hỏi số 675015:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của cạnh \(AC\). Biết \(SB = a\sqrt 2 \).

Khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675015

Phương pháp giải

Để tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta xác định hình chiếu vuông góc của \(H\) trên mặt phẳng \((SAB)\) qua các bước sau:

- Dựng \(HI \bot AB\) với \(I \in AB\), chứng minh được \(AB \bot (SIH)\) và \((SIH) \bot (SAB) = SI\).

- Dựng \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên S I, ta chứng minh được \(SK \bot (SAB)\).

Vậy \(d(H,(SAB)) = HK\).

Giải chi tiết

Để tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta xác định hình chiếu vuông góc của \(H\) trên mặt phẳng \((SAB)\) qua các bước sau:

- Dựng \(HI \bot AB\) với \(I \in AB\), chứng minh được \(AB \bot (SIH)\) và \((SIH) \bot (SAB) = SI\).

- Dựng \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên S I, ta chứng minh được \(SK \bot (SAB)\).

Vậy \(d(H,(SAB)) = HK\).

Do \(HI//BC\) nên dễ dàng chỉ ra được \(I\) là trung điểm của A B và \(IH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},IA = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\).

Ta có \(AB \bot SI\) nên \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Do \(SH \bot IH\) nên xét tam giác vuông SIH có:

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = a\\HK = \dfrac{{SH . HI}}{{SI}} = \dfrac{{a . \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\end{array}\)

Do vậy, ta có \(d(H,(SAB)) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.