Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng

Câu hỏi số 675016:

Nhận biết

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({30^ \circ }\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675016

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là \(SIA = {30^^\circ }\).

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra \(d(A,(SBC)) = AH = a\).

\({V_{S . ABC}} = \dfrac{1}{3} . {S_{ABC}} . SA\)

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là \(SIA = {30^\circ }\).

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra \(d(A,(SBC)) = AH = a\).

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra \(AI = \dfrac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\).

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng \(x\) mà AI là đường cao suy ra \(2a = x\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).

Diện tích tam giác đều \({\rm{ABC}}\) là \({S_{ABC}} = {\left( {\dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} . \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra \(SA = AI\). \(\tan {30^\circ } = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \({V_{S . ABC}} = \dfrac{1}{3} . {S_{ABC}} . SA = \dfrac{1}{3} . \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} . \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{8{a^3}}}{9}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.