Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {5;6;0} \right)\). Điểm
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {5;6;0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + 3{c^2}\).
Đáp án đúng là: D
Tìm tọa độ I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\)
\(3M{A^2} + M{B^2} = 48 \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\) từ đó suy ra M là giao điểm của OI với (S)
+) Mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R = 1\)
+) Ta tìm điểm \(I(x;y;z)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\).
+) Có \(\overrightarrow {IA} = (1 - x; - y; - z)\),
\(\overrightarrow {IB} = (5 - x;6 - y; - z)\).
+) \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3(1 - x) + 5 - x = 0}\\{3( - y) + 6 - y = 0}\\{3( - z) - z = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 8 = 0}\\{ - 4y + 6 = 0}\\{ - 4z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = \dfrac{3}{2}}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow I\left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right)\).
Suy ra \(IA = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2},IB = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{2}.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}3M{A^2} + M{B^2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 48\\ \Leftrightarrow 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} = 48 \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Ta thấy \(OI = \dfrac{5}{2}\) nên điểm \(I\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).
Ta có \(OI = R + MI = OM + MI\), suy ra có một điểm \(M\) thuộc đoạn OI thỏa mãn với
M là giao điểm của đoạn thẳng OI và mặt cầu \((S)\)
\(I\left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} \left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right) \Rightarrow OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = \dfrac{3}{2}t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2t;\dfrac{3}{2}t;0} \right)\)
Do \(M\left( {2t;\dfrac{3}{2}t;0} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {\dfrac{3}{2}t} \right)^2} = 1 = {a^2} + {b^2}\)
\(T = {a^2} + {b^2} + 3{c^2} = 1\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com