Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {5;6;0} \right)\). Điểm

Câu hỏi số 675213:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {5;6;0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + 3{c^2}\).

A. \(T = 8\).

B. \(T = 2\).

C. \(T = 14\).

D. \(T = 1\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Tìm tọa độ I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\)

\(3M{A^2} + M{B^2} = 48 \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\) từ đó suy ra M là giao điểm của OI với (S)

Giải chi tiết

+) Mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)

có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R = 1\)

+) Ta tìm điểm \(I(x;y;z)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\).

+) Có \(\overrightarrow {IA} = (1 - x; - y; - z)\),

\(\overrightarrow {IB} = (5 - x;6 - y; - z)\).

+) \(3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3(1 - x) + 5 - x = 0}\\{3( - y) + 6 - y = 0}\\{3( - z) - z = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 8 = 0}\\{ - 4y + 6 = 0}\\{ - 4z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = \dfrac{3}{2}}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow I\left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right)\).

Suy ra \(IA = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2},IB = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{2}.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}3M{A^2} + M{B^2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 48\\ \Leftrightarrow 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 3I{A^2} + I{B^2} = 48 \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Ta thấy \(OI = \dfrac{5}{2}\) nên điểm \(I\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

Ta có \(OI = R + MI = OM + MI\), suy ra có một điểm \(M\) thuộc đoạn OI thỏa mãn với

M là giao điểm của đoạn thẳng OI và mặt cầu \((S)\)

\(I\left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} \left( {2;\dfrac{3}{2};0} \right) \Rightarrow OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = \dfrac{3}{2}t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2t;\dfrac{3}{2}t;0} \right)\)

Do \(M\left( {2t;\dfrac{3}{2}t;0} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {\dfrac{3}{2}t} \right)^2} = 1 = {a^2} + {b^2}\)

\(T = {a^2} + {b^2} + 3{c^2} = 1\)

Xem lời giải

Câu hỏi:675213

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.