Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều

Câu hỏi số 675218:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {e^x}{\rm{.cos}}2024x;f\left( 0 \right) = 0\). Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là

A. 1289

B. 4041

C. 4043

D. 1287

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Nhân cả 2 vế với \({e^{ - x}}\) và nguyên hàm 2 vế tìm f(x)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f'(x) = f(x) + {e^x}\cos 2024x\\ \Leftrightarrow f'(x) - f(x) = {e^x}\cos 2024x\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'(x) - {e^{ - x}}f(x) = {e^{ - x}}.{e^x}\cos 2024x\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'(x) - {e^{ - x}}f(x) = \cos 2024x\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - x}}f(x)} \right)^\prime } = \cos 2024x\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f(x) = \dfrac{{\sin 2024x}}{{2024}} + c\\x = 0 \Rightarrow {e^0}f(0) = \dfrac{1}{{2024}}\sin (2024.0) + C\\ \Leftrightarrow 0 = \dfrac{1}{{2024}}.0 + C \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f(x) = \dfrac{{\sin 2024x}}{{2024}}{e^x}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2024x}}{{2024}}{e^x} = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2024x = 0\\ \Leftrightarrow 2024x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{{2024}} \in \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow - 644,26 \le k \le 644,26\\ \Rightarrow k \in \left\{ { - 644,...,644} \right\}\end{array}\)

Vậy có tất cả 1289 nghiệm

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:675218

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.