Xét các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - 2x + 4} \right){27^y} \ge \left( {3{y^2} + 1}

Câu hỏi số 676944:

Vận dụng

Xét các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - 2x + 4} \right){27^y} \ge \left( {3{y^2} + 1} \right){3^x}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - x + 4y\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {1;2} \right)\).

B. \(\left( {3;4} \right)\).

C. \(\left( { - 3; - 2} \right)\).

D. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676944

Giải chi tiết

Ta có: \(\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]{.3^{3y}} \ge \left( {3{y^2} + 1} \right){.3^x}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]{.3^{3y}} \ge \left( {9{y^2} + 3} \right){.3^{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}}{{{3^{x - 1}}}} \ge \dfrac{{9{y^2} + 3}}{{{3^{3y}}}}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{{3^t}}},\,\,t \in \mathbb{R}\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t - \left( {{t^2} + 3} \right)\ln 3}}{{{{\left( {{3^t}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\ln 3}}.\dfrac{{ - {t^2} + \dfrac{2}{{\ln 3}}t - 3}}{{{{\left( {{3^t}} \right)}^2}}}\)

Xét \(g\left( t \right) = - {t^2} + \dfrac{2}{{\ln 3}}t - 3\)

\(\Delta ' = \dfrac{1}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^2}}} - 3 < 0\)

Do đó \(g\left( t \right) < 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) < 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

Khi đó hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Từ (1) suy ra \(x - 1 \le 3y \Leftrightarrow x - 3y - 1 \le 0\)

Do đó \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc miền xác định của \(x - 3y - 1 \le 0\) (1)

Xét \(P = {x^2} + {y^2} - x + 4y \Leftrightarrow P + \dfrac{{17}}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\) (2)

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của \(P\) thì \(M\) thuộc (2)

Nếu \(P + \dfrac{{17}}{4} < 0\) thì không tồn tại \(M\) thỏa mãn (2)

Nếu \(P + \dfrac{{17}}{4} = 0\) thì \(x = \dfrac{1}{2},\,\,y = - 2\) không thỏa mãn (1)

Nếu \(P + \dfrac{{17}}{4} > 0\)

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của \(P\) thì \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R = \sqrt {P + \dfrac{{17}}{4}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {P + \dfrac{{17}}{4}} \ge \dfrac{{11\sqrt {10} }}{{20}}\\ \Leftrightarrow P \ge - \dfrac{{49}}{{40}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.