Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _{2024}}a = {\log _{2024}}\dfrac{1}{b}\). Giá

Câu hỏi số 679250:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _{2024}}a = {\log _{2024}}\dfrac{1}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4a + {b^2} - 3{\log _3}\left( {4a + {b^2}} \right)\) được viết dưới dạng \(x - y{\log _3}z\) với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số nguyên dương lớn hơn 2. Khi đó, tổng \({\left( {x + 2y + z} \right)^2}\) có giá trị bằng

A. 196.

B. 121.

C. 144.

D. 225.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679250

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{2}{\log _{2024}}a = {\log _{2024}}\dfrac{1}{b} \Leftrightarrow {\log _{2024}}a = 2{\log _{2024}}\dfrac{1}{b} \Leftrightarrow {\log _{2024}}a = {\log _{2024}}\dfrac{1}{{{b^2}}} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{{b^2}}}\)

Đặt \(t = 4a + {b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(t = 4a + {b^2} = \dfrac{4}{{{b^2}}} + {b^2} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{{{b^2}}}.{b^2}} = 4\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(b = \sqrt 2 ,\,\,a = \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(P = t - 3{\log _3}t,\,\,t \ge 4\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - {\log _3}t,\,\,t \ge 4\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{3}{{t\ln 3}} = \dfrac{{t\ln 3 - 3}}{{t\ln 3}} > 0,\,\,\forall t > 4\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\)

Khi đó \(P = f\left( t \right) \ge f\left( 4 \right) = 4 - 3{\log _3}4\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = \sqrt 2 \)

Vậy \(x = 4,\,\,y = 3,\,\,z = 4 \Rightarrow {\left( {x + 2y + z} \right)^2} = 196\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.