Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 679251:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right)\left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right] = 9{x^8} + 21{x^6} + 15{x^4} + 6{x^2} + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,f\left( 0 \right) = 0\)

Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^4} + 1}}} \right)}^{2023}} + \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)f\left( x \right) + \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{{{e^x} + 1}}} \right]dx} \)

A. \(0\).

B. \(\dfrac{{77}}{{105}}\).

C. \(\dfrac{{73}}{{105}}\).

D. \(\dfrac{{92}}{{105}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679251

Phương pháp giải

Lấy nguyên hàm hai vế

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right)\left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right] = 9{x^8} + 21{x^6} + 15{x^4} + 6{x^2} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) + f'\left( x \right) = 9{x^8} + 21{x^6} + 15{x^4} + 6{x^2} + 1\\ \Rightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^9} + 3{x^7} + 3{x^5} + 2{x^3} + x + C\\ \Rightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + x} \right)^3} + {x^3} + x\,\,\left( {do\,\,f\left( 0 \right) = 0} \right) & \left( 1 \right)\end{array}\)

Xét \(g\left( t \right) = {t^3} + t,\,\,t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + x\)

Xét \(h\left( x \right) = {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^4} + 1}}} \right]^{2023}} = {\left( {\dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^4} + 1}}} \right)^{2023}} \Rightarrow h\left( { - x} \right) = {\left( {\dfrac{{ - {x^3} - x}}{{{x^4} + 1}}} \right)^{2023}} = - h\left( x \right)\)

Do đó \(h\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\)

Tương tự \(k\left( x \right) = \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)f\left( x \right)\) cũng là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\), \({f^2}\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^4} + 1}}} \right)}^{2023}} + \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)f\left( x \right)} \right] = 0} \)

Ta chứng minh được nếu hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\)

Nếu \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn thì \(\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} \)

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + x} \right)}^2}dx} = \dfrac{{92}}{{105}}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.