Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^{y + 1}} = 2y + 2 - {x^2}\\4{x^3} + 2\left( {2y +

Câu hỏi số 679253:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^{y + 1}} = 2y + 2 - {x^2}\\4{x^3} + 2\left( {2y + 2} \right) = \sqrt {\left( {{x^4} + 1} \right)\left[ {{x^4} + 16\left( {2y + 2} \right) + 8x + 1} \right]} \end{array} \right.\)

Biết hệ có một nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,{x_0} > 0\) với \({x_0} = \dfrac{{\sqrt a + \sqrt { - b + c\sqrt 2 } }}{2}\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của \(N = b + c - a\) bằng

A. 8.

B. 6.

C. 2.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679253

Giải chi tiết

Ta có: \({2^{{x^2}}} - {4^{y + 1}} = 2y + 2 - {x^2} \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} + {x^2} = {2^{2y + 2}} + \left( {2y + 2} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t,\,\,t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 2y + 2\)

Thể \({x^2} = 2y + 2\) vào phương trình thứ hai ta được

\({x^2}\left( {4x + 1} \right) + {x^2} = \sqrt {{x^4} + 1} \sqrt {{x^4} + {{\left( {4x + 1} \right)}^2}} \,\,\left( 1 \right)\)

Theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có \({x^2}\left( {4x + 1} \right) + {x^2} \le \sqrt {{x^4} + 1} \sqrt {{x^4} + {{\left( {4x + 1} \right)}^2}} \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{4x + 1}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^4} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 2{\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt 2 x + 1 + \sqrt 2 = 0\,\,\left( {VN} \right)\\{x^2} - \sqrt 2 x + 1 - \sqrt 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Từ đây ta có nghiệm dương \(x = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt { - 2 + 4\sqrt 2 } }}{2}\)

Do đó \(a = b = 2,\,\,c = 4\)

Vậy \(N = c + b - a = 4\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.