Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt

Câu hỏi số 682823:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN'} \) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\) và khoàng cách giữa \(M\) và \(N\) lớn nhất. Tính \(MN\).

A. \(MN = 3\).

B. \(MN = 1 + 2\sqrt 2 \).

C. \(MN = 3\sqrt 2 \).

D. \(MN = 14\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Giá trị lớn nhất của MN chính là độ dài của vectơ lớn nhất trong các vectơ \(\vec v\) mà phép tịnh tiến vectơ \(\vec v\) biến mặt cầu \(({\rm{S}})\) thành mặt cầu \(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(({\rm{P}})\).

Giải chi tiết

(S) có tâm \({\rm{I}}( - 1;2;1)\) và \({\rm{R}} = 1\)

Gọi \(\vec v(t;0;t)\) là vectơ cùng phương với vectơ \(\vec u(1,0,1)\) sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành \(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc với \(({\rm{P}})\)

Phép tịnh tiến vectơ \(\vec v(t;0;t)\) biến I thành \({{\rm{I}}^\prime }( - 1 + {\rm{t}};2;1 + {\rm{t}})\)

Suy ra (S') có tâm I' và bán kính \({R^\prime } = R = 1\)

\(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc \(({\rm{P}}) \Leftrightarrow d(I;(P)) = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{| - 1 + t - 2.2 + 2(1 + t) - 3|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow |3t - 6| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t = 1}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 3 \Rightarrow \vec v(3;0;3) \Rightarrow |\vec v| = 3\sqrt 2 \)

Với \(t = 1 \Rightarrow \vec v(1;0;1) \Rightarrow |\vec v| = \sqrt 2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của MN là \(3\sqrt 2 \).

Xem lời giải

Câu hỏi:682823

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.