Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt

Câu hỏi số 682823:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN'} \) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\) và khoàng cách giữa \(M\) và \(N\) lớn nhất. Tính \(MN\).

A. \(MN = 3\).

B. \(MN = 1 + 2\sqrt 2 \).

C. \(MN = 3\sqrt 2 \).

D. \(MN = 14\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682823

Phương pháp giải

Giá trị lớn nhất của MN chính là độ dài của vectơ lớn nhất trong các vectơ \(\vec v\) mà phép tịnh tiến vectơ \(\vec v\) biến mặt cầu \(({\rm{S}})\) thành mặt cầu \(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(({\rm{P}})\).

Giải chi tiết

(S) có tâm \({\rm{I}}( - 1;2;1)\) và \({\rm{R}} = 1\)

Gọi \(\vec v(t;0;t)\) là vectơ cùng phương với vectơ \(\vec u(1,0,1)\) sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành \(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc với \(({\rm{P}})\)

Phép tịnh tiến vectơ \(\vec v(t;0;t)\) biến I thành \({{\rm{I}}^\prime }( - 1 + {\rm{t}};2;1 + {\rm{t}})\)

Suy ra (S') có tâm I' và bán kính \({R^\prime } = R = 1\)

\(\left( {{{\rm{S}}^\prime }} \right)\) tiếp xúc \(({\rm{P}}) \Leftrightarrow d(I;(P)) = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{| - 1 + t - 2.2 + 2(1 + t) - 3|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow |3t - 6| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t = 1}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 3 \Rightarrow \vec v(3;0;3) \Rightarrow |\vec v| = 3\sqrt 2 \)

Với \(t = 1 \Rightarrow \vec v(1;0;1) \Rightarrow |\vec v| = \sqrt 2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của MN là \(3\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.