Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; +

Câu hỏi số 682824:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right),f\left( 1 \right) = \sqrt e \) và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right){e^{ - x}} + \left( {{x^3} + {x^2}} \right)f\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Tinh \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(2\sqrt e \).

B. \(e + \sqrt e \).

C. 2e.

D. e \( - \sqrt e \).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng \({\left( {\dfrac{{{e^x}.x}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^\prime }\) và lấy nguyên hàm 2 vế.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{f^3}(x){e^{ - x}} + \left( {{x^3} + {x^2}} \right)f(x) - 2{x^3}{f^\prime }(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {x^2}} \right)f(x) - 2{x^3}{f^\prime }(x) = - {f^3}(x){e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {x^2}} \right){e^x}f(x) - 2{x^3}.{e^x}{f^\prime }(x) = - {f^3}(x)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^3} + {x^2}} \right){e^x}f(x) - 2{x^3}.{e^x}{f^\prime }(x)}}{{{x^2}{f^3}\left( x \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right){e^x}f(x) - 2x.{e^x}{f^\prime }(x)}}{{{f^3}\left( x \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{e^x}.x}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{e^x}.x}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{1}{x} + c\\f\left( 1 \right) = \sqrt e \Rightarrow c = 0\\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^2}.{e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = x.{e^{\dfrac{x}{2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {x.{e^{\dfrac{x}{2}}}dx} = \left. {2x{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {2{e^{\dfrac{x}{2}}}dx} = \left. {2x{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right|_1^2 - \left. {4{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right|_1^2 = 2\sqrt e \)

Xem lời giải

Câu hỏi:682824

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.