Xét \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c(a,b,c \in \mathbb{R},a > 0)\) sao cho đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 683261:

Vận dụng

Xét \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c(a,b,c \in \mathbb{R},a > 0)\) sao cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \(A,B\) và \(C\left( {1; - \dfrac{3}{5}} \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm \(A,B\) và \(C\). Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\) có diện tích bằng \(\dfrac{2}{5}\), tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. 1

B. \( - 1\)

C. \( - \dfrac{{17}}{{15}}\)

D. \(\dfrac{{17}}{{15}}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Dựa vào các điểm cực trị xác định cụ thể hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) và tính tích phân

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4a{x^2} + 2b = 0\end{array} \right.\)

Do hàm số có ba điểm cực trị là \(A,B\) và \(C\left( {1; - \dfrac{3}{5}} \right)\) nên 3 điểm cực trị lần lượt là \(A\left( {0,c} \right),B\left( {1, - \dfrac{3}{5}} \right),C\left( { - 1, - \dfrac{3}{5}} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - \dfrac{3}{5}\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - \dfrac{3}{5}\\b = - 2a\end{array} \right.\)

Gọi hàm \(g\left( x \right) = m{x^2} + nx + d\) đi qua \(A\left( {0,c} \right),B\left( {1, - \dfrac{3}{5}} \right),C\left( { - 1, - \dfrac{3}{5}} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = c\\m + n + d = - \dfrac{3}{5}\\m - n + d = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = c\\n = 0\\m + c = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow g\left( x \right) = \left( { - \dfrac{3}{5} - c} \right){x^2} + c\)

Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)dx = \dfrac{2}{5}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {\left( { - \dfrac{3}{5} - c} \right){x^2} + c - \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right)} \right)dx = \dfrac{2}{5}} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {\left( { - \dfrac{3}{5} - c - b} \right){x^2} - a{x^4}} \right)dx = \dfrac{2}{5}} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a{x^2} - a{x^4}} \right)dx = \dfrac{2}{5}} \\ \Leftrightarrow \left( {\left. {\dfrac{{a{x^3}}}{3} - \dfrac{{a{x^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow b = - 6,c = \dfrac{{12}}{5}\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^4} - 6{x^2} + \dfrac{{12}}{5}} \right)dx = 1} \)

Xem lời giải

Câu hỏi:683261

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.