Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng \(\sqrt 2 \), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,\,BC
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng \(\sqrt 2 \), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,\,BC = \sqrt 3 ,\,\,AB = 1\), hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thỏa mãn. Tính khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có: \(AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)
Kẻ \(HK \bot BC\left( {K \in BC} \right) \Rightarrow \left( {A'HK} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Khi đó \(HK\parallel BC \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{AB}} = \dfrac{{HC}}{{CA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HK = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{2}{3}\)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 \Rightarrow AH = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{2}{3}\)
\(A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {2 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{3}\)
Gọi \(A'H \cap CC' = T\)
Dễ dàng chứng minh được \(T,\,\,K,\,\,B'\) thẳng hàng
Kẻ \(A'E \bot B'K \Rightarrow A'E \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\)
Ta có: \(\dfrac{{TH}}{{TA'}} = \dfrac{{CH}}{{C'A'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{3}A'T \Rightarrow A'T = 3A'H = \sqrt {14} \)
Vì \(A'B'\parallel HK,\,\,HK \bot A'H \Rightarrow A'B' \bot A'H\)
Do đó \(A'E = \dfrac{{A'B'.A'T}}{{\sqrt {A'B{'^2} + A'{T^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {14 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {210} }}{{15}}\)
Vậy khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC\) là \(\dfrac{{\sqrt {210} }}{{15}}\)
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
