Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD . A'B'C'D'\) có đáy là hình
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD . A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(DC'\) lần lượt bằng \(\dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\) và \(\varphi \) với \({\rm{cos}}\varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi AB = x. Dựa vào góc và khoảng cách bài cho lập phương trình tìm x từ đó tính thể tích khối lăng trụ
Ta có $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là hình lăng trụ tứ giác đều nên $B B^{\prime} \perp(A B C D)$ và $D C^{\prime} / / A B^{\prime}$ nên $\left(A C, D C^{\prime}\right)=\left(A C, A B^{\prime}\right)=\varphi$.
Vì $B C C^{\prime} B^{\prime}$ và $A B B^{\prime} A^{\prime}$ là hai hình chữ nhật bằng nhau nên $A B^{\prime}=C B^{\prime}$, suy ra $\varphi=\widehat{B^{\prime} A C}$.
Lại có $D C^{\prime} / / A B^{\prime} \Rightarrow D C^{\prime} / /\left(A B^{\prime} C\right)$
$\Rightarrow d\left(A C, D C^{\prime}\right)=d\left(D C^{\prime},\left(A B^{\prime} C\right)\right)=d\left(D,\left(A B^{\prime} C\right)\right)=d\left(B,\left(A B^{\prime} C\right)\right)$
Do $A B C D$ là hình vuông nên $A C \perp B D$, mà $B B^{\prime} \perp(A B C D) \Rightarrow B B^{\prime} \perp A C$.
Từ đó suy ra $A C \perp\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right)$.
Gọi $O=A C \cap B D$, kẻ $B H \perp B^{\prime} O$ thì $B H \perp\left(A B^{\prime} C\right)$
$\Rightarrow B H=d\left(B,\left(A B^{\prime} C\right)\right)=d\left(A C, D C^{\prime}\right)=\dfrac{3 \sqrt{7} a}{7}$
Giả sử $A B=x(x>0) \Rightarrow A C=B D=\sqrt{A B^2+B C^2}=x \sqrt{2} \Rightarrow A O=B O=\dfrac{A C}{2}=\dfrac{x \sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $B B^{\prime} O$ vuông tại $B$ có $B H \perp B^{\prime} O$ nên
$\dfrac{1}{B H^2}=\dfrac{1}{B O^2}+\dfrac{1}{B^{\prime} B^2} \Leftrightarrow \dfrac{7}{9 a^2}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{B^{\prime} B^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{B^{\prime} B^2}=\dfrac{7}{9 a^2}-\dfrac{2}{x^2} \Rightarrow B B^{\prime}=\dfrac{3 a x}{\sqrt{7 x^2-18 a^2}}$
Suy ra $B^{\prime} C=A B^{\prime}=\sqrt{B B^{\prime 2}+A B^2}=\sqrt{\dfrac{7 x^4-9 a^2 x^2}{7 x^2-18 a^2}}$.
Tam giác $A B^{\prime} C$ cân tại $B^{\prime}$ và $O$ là trung điểm cùa $A C$ nên $B^{\prime} O \perp A C$.
Suy ra $\cos \varphi=\cos \widehat{B^{\prime} A C}=\dfrac{A O}{A B^{\prime}} \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\dfrac{x \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\dfrac{7 x^4-9 a^2 x^2}{7 x^2-18 a^2}}} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{7 x^4-9 a^2 x^2}{7 x^2-18 a^2}}=2 x$
$\Leftrightarrow \dfrac{7 x^4-9 a^2 x^2}{7 x^2-18 a^2}=4 x^2 \Leftrightarrow 7 x^4-9 a^2 x^2=4 x^2\left(7 x^2-18 a^2\right) \Leftrightarrow 7 x^2-9 a^2=4\left(7 x^2-18 a^2\right)$
$\Leftrightarrow x^2=3 a^2 \Leftrightarrow x=\sqrt{3} a .$
Do đó $B B^{\prime}=3 a, S_{A B C D}=A B^2=3 a^2$.
Vậy $V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=B B^{\prime} \cdot S_{A B C D}=9 a^3$.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
