Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) với \(AB = a,BC =

Câu hỏi số 694843:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) với \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \), cạnh bên \(CC' = 2a\). Điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(AA'\),

a) Chứng minh \(\left( {ABB'A'} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\) và \(BM \bot C'M\).

b) Tính cosin góc giữa mặt phẳng \(\left( {BMC'} \right)\) và mặt đáy \((ABC)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:694843

Phương pháp giải

Cho hai mặt phẳng \((\alpha ),(\beta )\). Gọi \((H)\) là đa giác trên \((\alpha ),\left( {H'} \right)\) là hình chiếu của \(({\rm{H}})\) trên \((\alpha )\). Khi đó:

\(\cos \varphi = \dfrac{{{S_{H'}}}}{{{S_H}}}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(BB' \bot AB\)

Mặt khác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\)

Do đó \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow \left( {ABB'A'} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

\(BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = a\sqrt 2 ;BC' = \sqrt {B{C^2} + C{C^{\prime 2}}} = a\sqrt 7 \)

\(C'M = \sqrt {A'C{'^2} + A'{M^2}} = a\sqrt 5 \)

Do \(C'{M^2} + M{B^2} = BC{'^2} \Rightarrow \Delta BMC'\) vuông tại \(M\) hay \(BM \bot C'M\).

b) Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tich tam giác \(MBC':{S_{MEC'}} = \dfrac{1}{2}MB \cdot MC' = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {BMC'} \right)\) và mặt đáy \((ABC)\).

Do \(\Delta ABC\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(MB'C'\) trên mặt phẳng \((ABC)\) nên:

\({S_{ABC}} = {S_{MBC'}}\cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MGC'}}}} = \sqrt {\dfrac{3}{{10}}} .\)

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.