Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương

Câu hỏi số 697895:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 26\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + 3y - 2z - 15 = 0\) và điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) và \(M\) là một điểm di động trên đường tròn \(\left( C \right)\). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \(AM\) bằng \(a + \sqrt b \left( {a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính \(T = 2a + b\).

A. \(T = 16\).

B. \(T = 29\).

C. \(T = 35\).

D. \(T = 19\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697895

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) và tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P)

Xác định khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(h = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\), xác định bán kính đường tròn (C).

Tìm hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng (P) (tâm của đường tròn (C)).

Tính khoảng cách từ điểm A đến tâm của đường tròn (C).

Độ dài đoạn thẳng \(AM\) sẽ lớn nhất khi \(M\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và tâm đường tròn (C), và \(M\) nằm về phía xa \(A\) nhất so với tâm đường tròn (C).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; -2; 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt{26}\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(h = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\):

\(h = \dfrac{{\left| {2 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot 1 - 15} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt{17}\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\). Bán kính của \(\left( C \right)\) là \(r\).

Ta có: \(r^2 = {\left( {\sqrt{26}} \right)^2} - {\left( {\sqrt{17}} \right)^2} = 26 - 17 = 9\).

Suy ra \(r = \sqrt{9} = 3\).

Gọi \(H\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\). \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \(IH\) đi qua \(I(3;-2;1)\) và có VTCP \(\vec{n_P} = (2;3;-2)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(IH\): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\)

Điểm \(H\) thuộc đường thẳng \(IH\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Thay tọa độ của \(H\) vào phương trình \(\left( P \right)\):

\(2(3 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 2(1 - 2t) - 15 = 0\) suy ra\(t = 1\).

Thay \(t=1\) vào phương trình tham số của \(IH\), ta được tọa độ của \(H \left( {5; 1; -1} \right)\)

Vậy tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(H\left( {5; 1; -1} \right)\).

Có \(AH = \sqrt{{3^2} + {(-2)^2} + {0^2}} = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}\).

\(M\) là một điểm di động trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(H\) và bán kính \(r=3\).

Độ dài đoạn thẳng \(AM\) sẽ lớn nhất khi \(M\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và \(H\), và \(M\) nằm về phía xa \(A\) nhất so với \(H\).

Điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \((C)\) (vì \(AH = \sqrt{13}\), lớn hơn bán kính \(r=3\)).

Khi đó, \(AM_{max} = AH + HM = AH + r= \sqrt{13} + 3\).

Vậy \(T = 2a + b= 2.3 +13 = 19.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.