Tìm m để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{2} - \left( {m + 1} \right)x - m^{2} + 4m - 2}{x - 1}$ có

Câu hỏi số 700693:

Thông hiểu

Tìm m để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{2} - \left( {m + 1} \right)x - m^{2} + 4m - 2}{x - 1}$ có hai điểm cực trị thỏa mãn tích giá trị cực đại và cực tiểu đạt GTNN. Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:700693

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

Giải chi tiết

+ TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ 1 \right\}$.

+ Ta có:

$\begin{array}{l} {y = \dfrac{x^{2} - \left( {m + 1} \right)x - m^{2} + 4m - 2}{x - 1}} \\ {y' = \dfrac{\left( {2x - m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - x^{2} + \left( {m + 1} \right)x + m^{2} - 4m + 2}{\left( {x - 1} \right)^{2}}} \\ {y' = \dfrac{x^{2} - 2x + m^{2} - 3m + 3}{\left( {x - 1} \right)^{2}}} \end{array}$

+ Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $\Rightarrow$ Phương trình $g(x) = x^{2} - 2x + m^{2} - 3m + 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta' = 1 - m^{2} + 3m - 3 > 0} \\ {1 - 2 + m^{2} - 3m + 3 \neq 0} \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- m^{2} + 3m - 2 > 0} \\ {m^{2} - 3m + 2 \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow 1 < m < 2 \right.$.

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: $y = 2x - m - 1$.

+ $y_{CD}.y_{CT} = \left( {2x_{1} - m - 1} \right)\left( {2x_{2} - m - 1} \right)$

$= 4x_{1}x_{2} - 2\left( {m + 1} \right)\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + \left( {m + 1} \right)^{2}(*)$

+ Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2} \\ {x_{1}x_{2} = m^{2} - 3m + 3} \end{array} \right.$.

Thay vào (*)

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow y_{CD}.y_{CT} = 4\left( {m^{2} - 3m + 3} \right) - 4\left( {m + 1} \right) + \left( {m + 1} \right)^{2} \right. \\ {= 4m^{2} - 12m + 12 - 4m - 4 + m^{2} + 2m + 1} \\ {= 5m^{2} - 14m + 9} \end{array}$

$\left. \Rightarrow y_{CD}.y_{CT} \right.$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m = \dfrac{7}{5}\left( {tm} \right)$.

Vậy $\min y_{CD}.y_{CT} = \mspace{6mu} - \dfrac{4}{5}$ khi $m = \dfrac{7}{5}$.

Đáp án cần điền là: 1,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.