Cho lăng trụ $ABC . A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $A'$

Câu hỏi số 704580:

Vận dụng

Cho lăng trụ $ABC . A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $A'$ cách đều 3 đỉnh của tam giác $ABC$. Biết rằng khoảng cách giữa $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{{3a}}{4}$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $\dfrac{{{a^3}}}{4}$.

B. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

C. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

D. $\dfrac{{3{a^3}}}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:704580

Phương pháp giải

Tính diện tích đáy với đáy là tam giác đều cạnh $a$.

Xác định $A'H = h$ là chiều cao của lăng trụ với H là trọng tâm tam giác ABC.

Giải chi tiết

Tính diện tích đáy: Đáy là tam giác đều cạnh $a$, nên

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vì $A'$ cách đều 3 đỉnh của tam giác $ABC$, hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là tâm $H$ của tam giác đều $ABC$.

$A'H = h$ là chiều cao của lăng trụ, ký hiệu là $h$. 3.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $AM$ là đường cao và trung tuyến của tam giác đều.

$AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$; $H$ là trọng tâm, nên

$HM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$. Vì $BC \perp AM$ và $BC \perp A'H$ (do $A'H \perp (ABC)$), suy ra $BC \perp (A'AM)$.

Ta có $d(AA',(BC)=d(M,AA’)

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AA'$ và $MK = \dfrac{{3a}}{4}$.

Trong tam giác vuông $A'HA$, có

$AA' = \sqrt{A'H^2 + AH^2} = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{2}{3}AM\right)^2} = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{3}}$.

Sử dụng công thức diện tích tam giác $A'AM$:

$S_{A'AM} = \dfrac{1}{2} A'H \cdot AM = \dfrac{1}{2} h \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{ah\sqrt 3 }}{4}$.

Lại có $S_{A'AM} = \dfrac{1}{2} MK \cdot AA' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{3a}}{4} \cdot \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{3}}$.

Suy ra $\dfrac{{ah\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{3a}}{4} \cdot \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{3}}$.

$\dfrac{{h\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{3}{8} \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{3}}$ $2h\sqrt 3 = 3 \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{3}}$ $12h^2 = 9\left(h^2 + \dfrac{a^2}{3}\right)$ $12h^2$

$ = 9h^2 + 3a^2$ $3h^2 = 3a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$.

Tính thể tích lăng trụ: $V = S \cdot h = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.