Cho hình lăng trụu \(ABC . A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và

Câu hỏi số 706230:

Vận dụng

Cho hình lăng trụu \(ABC . A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\). Biết tứ giác \(BCC'B'\) là hình thoi có \(\widehat {B'BC}\) là góc nhọn, mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^ \circ }\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

B. \(\dfrac{{6{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{{3\sqrt 7 }}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706230

Giải chi tiết

Ta có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ } \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = a\sqrt 3 }\\{AB = a}\end{array}} \right.\).

Kẻ \(B'H \bot BC\) tại \(H\). Vì góc \(B'BC\) nhọn nên \(H\) thuộc đoạn thẳng \(BC\).

Khi đó, ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(HE \bot AB\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB \bot \left( {HEB'} \right) \Rightarrow AB \bot EB'\\ \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \left( {HE,EB'} \right) = \widehat {HEB'} = {45^ \circ }\end{array}\)

Suy ra tam giác \(HEB'\) vuông cân tại \(H\) nên \(HE = HB' = x\).

Do \(HE//AC\) nên \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{EH}}{{AC}} \Leftrightarrow BH = BC\dfrac{{EH}}{{AC}} = 2a . \dfrac{x}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có: \(B{B^{{\rm{'}}2}} = B{H^2} + H{B^{{\rm{'}}2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{a^2} = \dfrac{{4{x^2}}}{3} + {x^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = \dfrac{{7{x^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{7} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\end{array}\)

Vậy, \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}AC . AB . B'H = \dfrac{1}{2}a\sqrt 3 . a . \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.