Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) : \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - 3 = 0\) và điểm

Câu hỏi số 706231:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) : \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2;2;2} \right)\). Biết rằng từ \(A\) có thể kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\), đồng thời các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(ax + by + cz - 5 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(M\left( {1; - 2;0} \right)\).

B. \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).

C. \(P\left( {2;2; - 1} \right)\).

D. \(Q\left( {1;1;1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706231

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2} + 3} = 2\).

Nhận thấy: \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(AI\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Kẻ một tiếp tuyến \(AB\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) với \(B\) là tiếp điểm.

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\). Khi đó \(H \in \left( \alpha \right)\).

Ta có: \(IA = 3\). Tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Ta có: \(I{B^2} = IH . IA \Rightarrow IH = \dfrac{{I{B^2}}}{{IA}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow IH = \dfrac{4}{9}.IA\).

Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \dfrac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = \dfrac{4}{9} . 2}\\{y - 0 = \dfrac{4}{9} . 2}\\{z - 1 = \dfrac{4}{9} . 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{8}{9}}\\{y = \dfrac{8}{9}}\\{z = \dfrac{{13}}{9}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{{13}}{9}} \right)} \right.} \right.\).

Do đó \(\left( \alpha \right):2 . \left( {x - \dfrac{8}{9}} \right) + 2 . \left( {y - \dfrac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \dfrac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).

Vậy, \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(Q\left( {1;1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.