Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(6f\left( x \right) + \int\limits_0^3

Câu hỏi số 707077:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(6f\left( x \right) + \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 6{x^2} + 24x} \). Diện tích nhỏ nhất của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \left( {a - 2} \right)x + 1\) (với \(a\) là tham số) bằng

A. \( \dfrac{{32}}{7}\).

B. \( \dfrac{{32}}{3}\).

C. \( \dfrac{5}{7}\).

D. \( \dfrac{{15}}{7}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707077

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi . Từ giả thiết suy ra \(6f\left( x \right) + 6C = 6{x^2} + 24x \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 4x - C\).

Ta có

\( \Leftrightarrow \left( { \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - Cx} \right)\left| 0 \right|0C \Leftrightarrow 27 - 3C = 6C \Leftrightarrow C = 3\). Do đó \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x - 3\).

Xét phương trình hoàng độ giao điểm \({x^2} + 4x - 3 = \left( {a - 2} \right)x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {6 - a} \right)x - 4 = 0\) (1).

Có \({\rm{\Delta }} = {(6 - a)^2} + 16 > 0,\forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow \) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

Theo Vi ét ta có \({x_1} + {x_2} = a - 6;{x_1}{x_2} = - 4\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là

\(S = \dfrac{{x_1^3}}{3} + \dfrac{{\left( {6 - a} \right)x_1^2}}{2} - 4{x_1} - \left[ { \dfrac{{x_2^3}}{3} + \dfrac{{\left( {6 - a} \right)x_2^2}}{2} - 4{x_2}} \right]\)

\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ { \dfrac{1}{3}\left( {x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}} \right) + \dfrac{{6 - a}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right]\)

\( = - \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \left[ { \dfrac{1}{3}{{(a - 6)}^2} + \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2}{{(a - 6)}^2} - 4} \right]\)

\( = - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ { \dfrac{1}{3}{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{3} + \dfrac{{6 - a}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right],\left( {{x_2} - {x_1} > 0} \right)\)

\( = - \sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \cdot \left[ { - \dfrac{1}{6}{{(a - 6)}^2} - \dfrac{8}{3}} \right] = \sqrt {{{(a - 6)}^2} + 16} \cdot \left[ { \dfrac{{{{(a - 6)}^2} + 16}}{6}} \right] = \dfrac{{{\rm{\Delta }}\sqrt {\rm{\Delta }} }}{6}\).

Ta thấy \({\rm{\Delta }} \ge 16,\forall a \in \mathbb{R}\) do đó \(S = \dfrac{{{\rm{\Delta }}\sqrt {\rm{\Delta }} }}{6} \ge \dfrac{{64}}{6} = \dfrac{{32}}{3}\).

Vậy \({\rm{Max}}S = \dfrac{{32}}{3}\) khi \(a = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.