Xét các số phức phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 1\), \(\left( {w - 7 + 7i}

Câu hỏi số 707080:

Vận dụng

Xét các số phức phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 1\), \(\left( {w - 7 + 7i} \right)\left( {1 + i - i\bar w} \right)\) là số thực và \(\left| {z - w} \right| = \sqrt {31} .\)Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {5z + w - 16 + 12i} \right|\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {7;9} \right).\)

B. \(\left( {17;20} \right).\)

C. \(\left( {13;16} \right).\)

D. \(\left( {9;12} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707080

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(w = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\), do đó:

\(\left( {w - 7 + 7i} \right)\left( {1 + i - i\overline w } \right)\; = \left[ {\left( {x - 7} \right) + \left( {y + 7} \right)i\left] \cdot \right[\left( {1 - y} \right) + \left( {1 - x} \right)i} \right]\)

\(\; = \left[ {\left( {x - 7} \right)\left( {1 - y} \right) - \left( {y + 7} \right)\left( {1 - x} \right)\left] + \right[\left( {1 - x} \right)\left( {x - 7} \right) + \left( {y + 7} \right)\left( {1 - y} \right)} \right]i\)

Vì \(\left( {w - 7 + 7i} \right)\left( {1 + i - i\overline w } \right)\) là số thực nên \(\left( {1 - x} \right)\left( {x - 7} \right) + \left( {y + 7} \right)\left( {1 - y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x + 6y = 0 \Leftrightarrow {(x - 4)^2} + {(y + 3)^2} = 25 \Leftrightarrow \left| {w - 4 + 3i} \right| = 5\).

Như vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z - 4 + 3i} \right| = 1}\\{\left| {w - 4 + 3i} \right| = 5}\\{\left| {z - w} \right| = \sqrt {31} }\end{array}} \right.\), ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = z - 4 + 3i}\\{v = w - 4 + 3i}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| u \right| = 1}\\{\left| v \right| = 5}\\{\left| {u - v} \right| = \sqrt {31} }\end{array}} \right.\).

Xét biểu thức \(P = \left| {5z + w - 16 + 12i\left| = \right|5\left( {z - 4 + 3i} \right) + \left( {w - 4 + 3i} \right) + 8 + 6i} \right|\)

\( = \left| {5u + v + 8 + 6i\left| \le \right|5u + v\left| + \right|8 + 6i\left| = \right|5u + v} \right| + 10{\rm{\;(1)\;}}\)

Mặt khác, do \(\left| {u - v} \right| = \sqrt {31} \Leftrightarrow \left| {u{|^2} + } \right|v{|^2} - \left( {u\overline {.v} + \overline u .v} \right) = 31 \Leftrightarrow u\overline {.v} + \overline u .v = \left| {u{|^2} + } \right|v{|^2} - 31 = - 5\).

Đặt \(T = \left| {5u + v} \right| \Leftrightarrow {T^2} = 25\left| {u{|^2} + } \right|v{|^2} + 5\left( {u\overline {.v} + \overline u .v} \right) = 25 + 25 - 25 = 25 \Rightarrow T = 5\) (2).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow P \le 15 \Rightarrow {\rm{max}}P = 15 \in \left( {13;16} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.