Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 7 = 0\), \((P)\) là

Câu hỏi số 707082:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 7 = 0\), \((P)\) là mặt phẳng thay đổi, chứa \(d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và cắt mặt cầu \((S)\) theo thiết diện là đường tròn có bán kính \(r\). Gọi \({r_1}\) và \({r_2}\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(r\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

B. \( \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

C. \( \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\).

D. \( \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707082

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 3 \).

Gọi hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\) là \(K\). Giả sử hình chiếu của \(I\).

trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(H\) khi đó \(IH \bot d\). Do đó nếu hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) mà nằm trên đường thẳng \({\rm{d}}\) thì chỉ có thể trùng với điểm \(H\). Mà tam giác \(IKH\) luôn vuông góc tại \(H\) do đó khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất khi \(H \equiv K\). Vậy khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất là khoảng cách từ \(I\) đến \(d\).

Từ phương trình đường thẳng ta có \(VTCP:\vec u\left( {1;1;2} \right);M\left( {1;0; - 1} \right) \in d,\overrightarrow {IM} \left( {0;0; - 3} \right)\).

Khoảng cách lớn nhất là: \(d = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {3^2} + {{(0)}^2}} }}{{\sqrt {{{(1)}^2} + {{(1)}^2} + {{(2)}^2}} }} = \sqrt 3 \).

Ta có bán kính của thiết diện bằng \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} \).

Bán kính của thiết diện lớn nhất khi \(IH = 0\) suy ra \({r_1} = R = 2\sqrt 3 \).

Bán kính của thiết diện nhỏ nhất khi khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất \(IH = d = \sqrt 3 \).

Suy ra \({r_2} = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = 3\).

Vậy \( \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.