Xét các số \(x,\,y\) không âm thỏa mãn \(\ln \left( { \dfrac{{x + 2y + 3}}{{6y + 9}}} \right) +

Câu hỏi số 707085:

Vận dụng cao

Xét các số \(x,\,y\) không âm thỏa mãn \(\ln \left( { \dfrac{{x + 2y + 3}}{{6y + 9}}} \right) + \dfrac{{2x - 6y - 9}}{{x + 6y + 9}} = \dfrac{1}{5}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của \(P = \left| {\sqrt {15{y^2} + 50y + 36 - {x^2}} - m} \right|\) không vượt quá \(44\). Số các phần tử thuộc tập \(S\)là

A. 86.

B. 89.

C. 87.

D. 88.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707085

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Xét \({\rm{ln}}\left( { \dfrac{{x + 2y + 3}}{{6y + 9}}} \right) + \dfrac{{2x - 6y - 9}}{{x + 6y + 9}} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow {\rm{ln}}\left( { \dfrac{x}{{6y + 9}} + \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{{ \dfrac{{2x}}{{6y + 9}} - 1}}{{ \dfrac{x}{{6y + 9}} + 1}} = \dfrac{1}{5}\)

Đặt \(t = \dfrac{x}{{6y + 9}} > 0\), Phương trình (1) trở thành: \({\rm{ln}}\left( {t + \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{{2t - 1}}{{t + 1}} - \dfrac{1}{5} = 0\)

Ta nhận thấy hàm số \(y = {\rm{ln}}\left( {t + \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{{2t - 1}}{{t + 1}} - \dfrac{1}{5}\) là hàm số tăng vì có \(y' = \dfrac{1}{{t + \dfrac{1}{3}}} + \dfrac{3}{{{{(t + 1)}^2}}} > 0;\forall t > 0\). Thấy \(t = \dfrac{2}{3}\) là nghiệm của phương trình (2).

Do đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất là \(t = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{6y + 9}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x = 4y + 6\). Xét \(P = \left| {\sqrt {15{y^2} + 50y + 36 - {{(4y + 6)}^2}} - m} \right| = \left| {\sqrt {2y - {y^2}} - m} \right|\).

Để biểu thức \(P\) có giá trị lớn nhất không quá 44 :

\( \Rightarrow \left| {\sqrt {2y - {y^2}} - m} \right| \le 44 \Leftrightarrow - 44 \le \sqrt {2y - {y^2}} - m \le 44 \Leftrightarrow - 44 + \sqrt {2y - {y^2}} \le m \le 44 + \sqrt {2y - {y^2}} \)

Ta có: \(2y - {y^2} \le 1 - {(1 - y)^2} \le 1 \Rightarrow 0 \le \sqrt {2y - {y^2}} \le 1\)

\( \Leftrightarrow - 43 \le m \le 45 \Rightarrow \) Có 89 giá trị nguyên thỏa.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.