Xét số phức \(z\) có phần ảo khác 0 sao cho \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực và số phức \(w\)

Câu hỏi số 707132:

Vận dụng cao

Xét số phức \(z\) có phần ảo khác 0 sao cho \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực và số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {iw + 1 - 5i} \right| = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} + wz - 4} \right|\) bằng

A. 5 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707132

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\) và \(y \ne 0\).

Vì \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực nên \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}} = \overline {\left( {\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}} \right)} \Leftrightarrow z\left( {{{\overline z }^2} + 4} \right) = \overline z \left( {{z^2} + 4} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z\overline z \left( {\overline z - z} \right) + 4\left( {z - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overline z - z} \right)\left( {|z{|^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline z - z = 0}\\{|z{|^2} - 4 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì \(z\) có phần ảo khác 0 nên \(\overline z - z = - 2yi \ne 0\).

Từ (*) suy ra \(|z{|^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\) (**)

Và \(P = \left| {{z^2} + wz - 4} \right| = \left| {{z^2} + wz - {{\left| z \right|}^2}} \right|\)

\( = \left| {{z^2} + wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|.\left| {z + w - \overline z } \right| = 2.\left| {2yi - \left( { - w} \right)} \right|\) (***)

Ta có \(\left| {iw + 1 - 5i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| { - w + i + 5} \right| = 4\).

Suy ra tập hợp tất cả các điểm \(M\) biểu diễn cho số phức \( - w\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 5; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 4\).

Từ (**) suy ra \( - 2 \le y \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2y \le 4\).

Hay tập hợp tất cả các điểm \(N\) biểu diễn cho số phức \(2yi\) là đoạn thẳng \(AB\), với \(A\left( {0; - 4} \right),B\left( {0;4} \right)\).

Từ (***) suy ra \(P = 2MN\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi \(M \equiv H\) và \(N \equiv K\), với \(H\left( { - 1; - 1} \right),K\left( {0; - 1} \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là 2 .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.