Xét các số thực \(x,y\) thoả mãn \(x > 2y\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\dfrac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x -

Câu hỏi số 707133:

Vận dụng cao

Xét các số thực \(x,y\) thoả mãn \(x > 2y\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\dfrac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - {2.2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x - 4y\), khi đó \(M . m\) bằng

A. -21 .

B. 22 .

C. 21 .

D. -22 .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707133

Giải chi tiết

Phương trình đã cho tương đương

\(\begin{array}{l}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\dfrac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - {2.2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + {2^{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 4y} \right) + {2^{2x - 4y}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t + {2^t};f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t{\rm{ln}}2}} + {2^t}{\rm{ln}}2 > 0\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến.

Suy ra \(f\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = f(2x - 4y) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4\).

Mặt khác \(P = 3x - 4y \Leftrightarrow P - 11 = 3(x - 1) - 4(y + 2)\).

Suy ra \({(P - 11)^2} \le \left( {{3^2} + {{( - 4)}^2}} \right)\left[ {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \right] = 100 \Leftrightarrow 1 \le P \le 21\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 4}}\).

Vậy \(Mm = 21\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.