Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(ab + 2bc +

Câu hỏi số 709316:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(ab + 2bc + 3ca \le 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:709316

Phương pháp giải

Từ giả thiết \(a + b + c = 0\) ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn \(c = - a - b\), thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được \(3{a^2} + 4ab + 2{b^2}\) là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Theo giả thiết thì \(c = - \left( {a + b} \right)\), nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với

\(ab + c\left( {2a + 3a} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow ab + \left( { - a - b} \right)\left( {2b + 3a} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow ab - 2ab - 3{a^2} - 2{b^2} - 3ab \le 0\)

\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab + 2{b^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 2{(a + b)^2} \ge 0\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link