Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(ab + 2bc +
Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(ab + 2bc + 3ca \le 0\)
Từ giả thiết \(a + b + c = 0\) ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn \(c = - a - b\), thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được \(3{a^2} + 4ab + 2{b^2}\) là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức.
Theo giả thiết thì \(c = - \left( {a + b} \right)\), nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với
\(ab + c\left( {2a + 3a} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow ab + \left( { - a - b} \right)\left( {2b + 3a} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow ab - 2ab - 3{a^2} - 2{b^2} - 3ab \le 0\)
\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab + 2{b^2} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + 2{(a + b)^2} \ge 0\)
Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 0\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com