Chứng minh với các số thực \({\rm{a}}\) dương, ta có: \(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} +

Câu hỏi số 709317:

Vận dụng

Chứng minh với các số thực \({\rm{a}}\) dương, ta có: \(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} \ge \dfrac{{11}}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:709317

Phương pháp giải

Quy đồng, chuyển vế và chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} \ge \dfrac{{11}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + 1}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} - 5 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - {{(a - 1)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}} + \dfrac{{5{{(a - 1)}^2}}}{{2a}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2}\left( {\dfrac{5}{a} - \dfrac{1}{{{a^2} + 1}}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2} \cdot \dfrac{{5{a^2} - a + 5}}{{a\left( {{a^2} + 1} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2} \cdot \dfrac{{{{(a - 1)}^2} + 9\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}} \ge 0\)

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link