Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Chứng minh với các số thực \({\rm{a}}\) dương, ta có: \(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} +
Chứng minh với các số thực \({\rm{a}}\) dương, ta có: \(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} \ge \dfrac{{11}}{2}\)
Quy đồng, chuyển vế và chứng minh bất đẳng thức.
Ta có:
\(\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} \ge \dfrac{{11}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + 1}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{5\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2a}} - 5 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - {{(a - 1)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}} + \dfrac{{5{{(a - 1)}^2}}}{{2a}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2}\left( {\dfrac{5}{a} - \dfrac{1}{{{a^2} + 1}}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2} \cdot \dfrac{{5{a^2} - a + 5}}{{a\left( {{a^2} + 1} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - 1)}^2}}}{2} \cdot \dfrac{{{{(a - 1)}^2} + 9\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{2\left( {{a^2} + 1} \right)}} \ge 0\)
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 1\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
