Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Chứng minh rằng với mọi số thực \({\rm{a}},{\rm{b}}\) ta có: \(2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge a{b^3}
Chứng minh rằng với mọi số thực \({\rm{a}},{\rm{b}}\) ta có: \(2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge a{b^3} + {a^3}\;b + 2{a^2}{b^2}\)
Để ý ta thấy, với \(a = b\) thì dấu đẳng thức xảy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử chung \({(a - b)^2}\).
Ta có:
\(2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge a{b^3} + {a^3}\;b + 2{a^2}{b^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {a^4} - {a^3}b + {b^4} - {b^3} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + \left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\)
\(\; \Leftrightarrow {(a - b)^2}\left[ {{{(a + b)}^2} + \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right] \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(a - b)^2}\left[ {3{{(a + b)}^2} + {a^2} + {b^2}} \right] \ge 0\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
