Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} +

Câu hỏi số 709321:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)

Xem lời giải

Câu hỏi:709321

Phương pháp giải

Nhận thấy \(\dfrac{{{a^2}}}{b} - 2a + b = \dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{\;b}}\). Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)

\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} - 2a + b} \right) + \left( {\dfrac{{{b^2}}}{c} - 2b + c} \right) + \left( {\dfrac{{{c^2}}}{a} - 2c + a} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2} - 2bc + {c^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2} - 2ca + {a^2}}}{a} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{b} + \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{c} + \dfrac{{{{(c - a)}^2}}}{a} \ge 0\)

Vì \(a,b,c\) là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.