Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} +
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)
Nhận thấy \(\dfrac{{{a^2}}}{b} - 2a + b = \dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{\;b}}\). Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta có:
\(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)
\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} - 2a + b} \right) + \left( {\dfrac{{{b^2}}}{c} - 2b + c} \right) + \left( {\dfrac{{{c^2}}}{a} - 2c + a} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2} - 2bc + {c^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2} - 2ca + {a^2}}}{a} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{b} + \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{c} + \dfrac{{{{(c - a)}^2}}}{a} \ge 0\)
Vì \(a,b,c\) là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com