Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(ab\left( {a + b - 2c} \right) + bc\left( {b

Câu hỏi số 709322:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý.

Chứng minh rằng: \(ab\left( {a + b - 2c} \right) + bc\left( {b + c - 2a} \right) + ca\left( {c + a - 2b} \right) \ge 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:709322

Phương pháp giải

Ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp lý, chú ý là \(a{b^2} + a{c^2} - 2abc = a\left( {{b^2} + {c^2} - 2bc} \right) = a{(b - c)^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(ab\left( {a + b - 2c} \right) + bc\left( {b + c - 2a} \right) + ca\left( {c + a - 2b} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} - 2abc + {b^2}c + b{c^2} - 2abc + {c^2}a + c{a^2} - 2abc \ge 0\)

\( \Leftrightarrow a\left( {{b^2} + {c^2} - 2bc} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2} - 2ca} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow a{(b - c)^2} + b{(c - a)^2} + c{(a - b)^2} \ge 0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link