Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b
Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b < 2\)
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức \(a + b \ge 2\).
Đặt \(a = x + 1;b = y + 1\) khi đó ta được \(x + y \ge 0\)
Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được:
\(\;{a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3}\)
\( = {(1 + x)^4} + {(1 + y)^4} - {(1 + x)^3} - {(1 + y)^3}\)
\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\)
\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \ge 0\)
Hay \({a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3} \ge 0\)
Mà ta lại có \(a + b \ge 2\) do đó suy ra \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\). Bất đẳng thức thu được trái với giả thiết của bài toán.
Vậy điều ta giả sử là không xảy ra hay bài toán được chứng minh.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com