Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b
Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b < 2\)
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức \(a + b \ge 2\).
Đặt \(a = x + 1;b = y + 1\) khi đó ta được \(x + y \ge 0\)
Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được:
\(\;{a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3}\)
\( = {(1 + x)^4} + {(1 + y)^4} - {(1 + x)^3} - {(1 + y)^3}\)
\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\)
\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \ge 0\)
Hay \({a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3} \ge 0\)
Mà ta lại có \(a + b \ge 2\) do đó suy ra \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\). Bất đẳng thức thu được trái với giả thiết của bài toán.
Vậy điều ta giả sử là không xảy ra hay bài toán được chứng minh.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
