Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b

Câu hỏi số 709323:

Vận dụng

Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^4} + {b^4} < {a^3} + {b^3}\). Chứng minh rằng: \(a + b < 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:709323

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giải chi tiết

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức \(a + b \ge 2\).
Đặt \(a = x + 1;b = y + 1\) khi đó ta được \(x + y \ge 0\)
Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được:

\(\;{a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3}\)

\( = {(1 + x)^4} + {(1 + y)^4} - {(1 + x)^3} - {(1 + y)^3}\)

\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\)

\(\; = \left( {x + y} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \ge 0\)

Hay \({a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3} \ge 0\)
Mà ta lại có \(a + b \ge 2\) do đó suy ra \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\). Bất đẳng thức thu được trái với giả thiết của bài toán.

Vậy điều ta giả sử là không xảy ra hay bài toán được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link