Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 -

Câu hỏi số 710621:

Vận dụng

Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710621

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp chia biểu thức cho một số \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức A,B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B \)tức là :

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = A\sqrt B \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - A\sqrt B \)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Trước hết ta tính \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }}\)được:

\(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{6 - 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 3 + 6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 3 - 3}}{{9 - 3}}\)

\(\; = \dfrac{6}{6} = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow D = \sqrt 2 .\)

Vậy \(D = \sqrt 2 \)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link