Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 -

Câu hỏi số 710621:

Vận dụng

Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710621

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp chia biểu thức cho một số \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức A,B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B \)tức là :

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = A\sqrt B \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - A\sqrt B \)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Trước hết ta tính \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }}\)được:

\(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} }}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{6 - 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 3 + 6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 3 - 3}}{{9 - 3}}\)

\(\; = \dfrac{6}{6} = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow D = \sqrt 2 .\)

Vậy \(D = \sqrt 2 \)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.