Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 -
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)
Áp dụng phương pháp chia biểu thức cho một số \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)
Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Với hai biểu thức A,B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B \)tức là :
+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = A\sqrt B \)
+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - A\sqrt B \)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có: \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)
Trước hết ta tính \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }}\)được:
\(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)
\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}\)
\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} }}\)
\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\)
\(\; = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\)
\(\; = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\)
\(\; = \dfrac{{6 - 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 3 + 6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 3 - 3}}{{9 - 3}}\)
\(\; = \dfrac{6}{6} = 1\)
\( \Rightarrow \dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow D = \sqrt 2 .\)
Vậy \(D = \sqrt 2 \)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com