Tính \(M = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} -

Câu hỏi số 710623:

Vận dụng

Tính \(M = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } {\rm{\;}} + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710623

Phương pháp giải

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức A, B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B \) tức là :

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = A\sqrt B \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - A\sqrt B \)

Áp dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta nhân của tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:

+) \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) với \(B > 0\)

+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)

+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(M = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{{{(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } )}^2} - {{(\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } )}^2}}}{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } - \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) \cdot \left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } + \sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}{{2 + \sqrt 3 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \cdot 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{2 \cdot \sqrt {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} }}{{\sqrt 3 }}\)

\(\; = \dfrac{{2 \cdot \sqrt {4 - 3} }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.