Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 -
Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)
Ta sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\), xác định phương trình nhận A làm nghiệm.
Ta có:
\(\;A = \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)
Suy ra \(\;{A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)^3}\)
\(\; = 2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 3 \cdot \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)\)
\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{{2^2} - {{\left( {10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} } \right)}^2}}} \cdot A\)
\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{\dfrac{8}{{27}}}} \cdot A\)
\(\; = 4 + 3 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot A\)
\(\; = 4 + 2A\)
Vậy giá trị của \(A\) thoả mãn phương trình \({A^3} = 4 + 2A\)
\({A^3} - 2A - 4 = 0\)
\({A^3} - 8 - 2A + 4 = 0\)
\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4} \right) - 2\left( {A - 2} \right) = 0\)
\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4 - 2} \right) = 0\)
\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 2} \right) = 0\)
\(\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A - 2 = 0}\\{{A^2} + 2A + 2 = 0{\rm{\;(VN)\;}}}\end{array} \Leftrightarrow A = 2.} \right.\)
(Do \({A^2} + 2A + 2 = {(A + 1)^2} + 1 > 0\) với mọi \(A\)).
Vậy \(A = 2\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com