Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 -

Câu hỏi số 710658:

Vận dụng cao

Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710658

Phương pháp giải

Ta sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\), xác định phương trình nhận A làm nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\;A = \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)

Suy ra \(\;{A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)^3}\)

\(\; = 2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 3 \cdot \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{{2^2} - {{\left( {10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} } \right)}^2}}} \cdot A\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{\dfrac{8}{{27}}}} \cdot A\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot A\)

\(\; = 4 + 2A\)

Vậy giá trị của \(A\) thoả mãn phương trình \({A^3} = 4 + 2A\)

\({A^3} - 2A - 4 = 0\)

\({A^3} - 8 - 2A + 4 = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4} \right) - 2\left( {A - 2} \right) = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4 - 2} \right) = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 2} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A - 2 = 0}\\{{A^2} + 2A + 2 = 0{\rm{\;(VN)\;}}}\end{array} \Leftrightarrow A = 2.} \right.\)

(Do \({A^2} + 2A + 2 = {(A + 1)^2} + 1 > 0\) với mọi \(A\)).
Vậy \(A = 2\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.