Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 -

Câu hỏi số 710658:

Vận dụng cao

Tính \(A = {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710658

Phương pháp giải

Ta sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\), xác định phương trình nhận A làm nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\;A = \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\)

Suy ra \(\;{A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)^3}\)

\(\; = 2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} + 3 \cdot \sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{{2^2} - {{\left( {10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} } \right)}^2}}} \cdot A\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{{\dfrac{8}{{27}}}} \cdot A\)

\(\; = 4 + 3 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot A\)

\(\; = 4 + 2A\)

Vậy giá trị của \(A\) thoả mãn phương trình \({A^3} = 4 + 2A\)

\({A^3} - 2A - 4 = 0\)

\({A^3} - 8 - 2A + 4 = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4} \right) - 2\left( {A - 2} \right) = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4 - 2} \right) = 0\)

\(\left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 2} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A - 2 = 0}\\{{A^2} + 2A + 2 = 0{\rm{\;(VN)\;}}}\end{array} \Leftrightarrow A = 2.} \right.\)

(Do \({A^2} + 2A + 2 = {(A + 1)^2} + 1 > 0\) với mọi \(A\)).
Vậy \(A = 2\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link