Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt

Câu hỏi số 710835:

Vận dụng cao

Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} {\rm{\;}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right)\) và \(0 < a < 1.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710835

Phương pháp giải

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B {\rm{\;}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\\{ - A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\end{array}} \right..\)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(0 < a < 1.\)

Ta có:

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt a }} - \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} \cdot \sqrt {1 - a} - \sqrt a \cdot \sqrt a }}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{1 - a - a}}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right) = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)}^2}} }\\{ = \sqrt {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - 2a} \right)}^2}}}{{4a\left( {1 - a} \right)}}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + \dfrac{{1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{{4a - 4{a^2} + 1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{1}{{4a - 4{a^2}}}} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} - \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\\{ = \dfrac{{1 - 1 + 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}}{{\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {a - a} }}}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}:\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {a - a} }} = 1\)

Vậy \(B = 1.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.