Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt

Câu hỏi số 710835:

Vận dụng cao

Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} {\rm{\;}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right)\) và \(0 < a < 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710835

Phương pháp giải

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B {\rm{\;}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\\{ - A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\end{array}} \right..\)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(0 < a < 1.\)

Ta có:

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt a }} - \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} \cdot \sqrt {1 - a} - \sqrt a \cdot \sqrt a }}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{1 - a - a}}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right) = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)}^2}} }\\{ = \sqrt {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - 2a} \right)}^2}}}{{4a\left( {1 - a} \right)}}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + \dfrac{{1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{{4a - 4{a^2} + 1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{1}{{4a - 4{a^2}}}} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} - \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\\{ = \dfrac{{1 - 1 + 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}}{{\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}:\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }} = 1\)

Vậy \(B = 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link