Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt

Câu hỏi số 710835:

Vận dụng cao

Tính \(B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} {\rm{\;}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right)\) và \(0 < a < 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710835

Phương pháp giải

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} {\rm{\;}} = \left| A \right|\sqrt B {\rm{\;}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\\{ - A\sqrt B {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B > 0}\end{array}} \right..\)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(0 < a < 1.\)

Ta có:

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{a}} - \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt a }} - \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - a} \cdot \sqrt {1 - a} - \sqrt a \cdot \sqrt a }}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)\)

\(\;x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{1 - a - a}}{{\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right) = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}} \right)}^2}} }\\{ = \sqrt {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - 2a} \right)}^2}}}{{4a\left( {1 - a} \right)}}} {\rm{\;}} = \sqrt {1 + \dfrac{{1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{{4a - 4{a^2} + 1 - 4a + 4{a^2}}}{{4a - 4{a^2}}}} }\\{ = \sqrt {\dfrac{1}{{4a - 4{a^2}}}} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x = \dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} - \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}\\{ = \dfrac{{1 - 1 + 2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B = \dfrac{{2a\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{\;}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a\left( {1 - a} \right)} }}}}{{\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }}:\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }} = 1\)

Vậy \(B = 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link