Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của
Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)
Bình phương biểu thức \(x\) và rút gọn.
Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} {\rm{\;}} = \left| A \right|\).
Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn \(x\).
Thay giá trị \(x\) sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức \(P\).
Ta có:
\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)\)
\(\; \Rightarrow {x^2} = {(\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } )^2}\)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2 \cdot \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \cdot \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} \)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right){\rm{\;}}\,\,(do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0)\)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \)
\(\; \Leftrightarrow {x^2} = {(\sqrt 3 + 1)^2}\)
\(\; \Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 1\,\,(do\;\,x > 0)\)
Thay \(x = \sqrt 3 {\rm{\;}} + 1\) thì:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}}\\{P = 2.\left( {\sqrt 3 {\rm{\;}} + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)}\\{P = 2\sqrt 3 {\rm{\;}} + 2 - 4 - 2\sqrt 3 {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)
Vậy \(P = {\rm{\;}} - 2\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com