Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của

Câu hỏi số 710838:

Vận dụng

Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710838

Phương pháp giải

Bình phương biểu thức \(x\) và rút gọn.

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} {\rm{\;}} = \left| A \right|\).

Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn \(x\).

Thay giá trị \(x\) sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)\)

\(\; \Rightarrow {x^2} = {(\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } )^2}\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2 \cdot \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \cdot \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right){\rm{\;}}\,\,(do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0)\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = {(\sqrt 3 + 1)^2}\)

\(\; \Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 1\,\,(do\;\,x > 0)\)

Thay \(x = \sqrt 3 {\rm{\;}} + 1\) thì:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}}\\{P = 2.\left( {\sqrt 3 {\rm{\;}} + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)}\\{P = 2\sqrt 3 {\rm{\;}} + 2 - 4 - 2\sqrt 3 {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)

Vậy \(P = {\rm{\;}} - 2\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.