Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của

Câu hỏi số 710838:

Vận dụng

Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710838

Phương pháp giải

Bình phương biểu thức \(x\) và rút gọn.

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} {\rm{\;}} = \left| A \right|\).

Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn \(x\).

Thay giá trị \(x\) sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\rm{\;}} + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)\)

\(\; \Rightarrow {x^2} = {(\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } )^2}\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2 \cdot \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \cdot \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2 \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right){\rm{\;}}\,\,(do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0)\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} = {(\sqrt 3 + 1)^2}\)

\(\; \Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 1\,\,(do\;\,x > 0)\)

Thay \(x = \sqrt 3 {\rm{\;}} + 1\) thì:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}}\\{P = 2.\left( {\sqrt 3 {\rm{\;}} + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)}\\{P = 2\sqrt 3 {\rm{\;}} + 2 - 4 - 2\sqrt 3 {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)

Vậy \(P = {\rm{\;}} - 2\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link