Cho \(f(x)\) là hàm số bậc hai thỏa mãn \(f(0) = 1\) và \(\int

Câu hỏi số 719663:

Vận dụng

Cho \(f(x)\) là hàm số bậc hai thỏa mãn \(f(0) = 1\) và \(\int {\dfrac{{f(x)}}{{{x^2}{{(x + 1)}^3}}}} dx\) là một họ hàm số có dạng \(\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}\), trong đó \(P(x),Q(x)\) là các đa thức. Tính \({f^\prime }(0)\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:719663

Phương pháp giải

Phân tích \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) về dạng \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{c}{{x + 1}} + \dfrac{d}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{e}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)

Giải chi tiết

Đáp số: 3

Để tính \(\int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} \) ta phân tích \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) về dạng \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{c}{{x + 1}} + \dfrac{d}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{e}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)

Do \(\int {\dfrac{a}{x}dx} = a.\ln \left| x \right| + C;\int {\dfrac{c}{{x + 1}}dx} = c.\ln \left| {x + 1} \right| + C\) mà \(\int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} \) là một họ hàm số có dạng \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\) trong đó \(P\left( x \right),Q\left( x \right)\) là các đa thức nên \(a = c = 0.\)

Khi đó: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{d}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{e}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)

Ta có: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \dfrac{{b{{\left( {x + 1} \right)}^3} + d{x^2}\left( {x + 1} \right) + e{x^2}}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \dfrac{{\left( {b + d} \right){x^3} + \left( {3b + d + e} \right){x^2} + 3bx + b}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {b + d} \right){x^3} + \left( {3b + d + e} \right){x^2} + 3bx + b.\)

Do \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow b = 1.\)

Do \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc hai nên \(b + d = 0 \Leftrightarrow d = - 1.\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \left( {e + 2} \right){x^2} + 3x + 1.\) (Điều kiện: \(e \ne - 2\))

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2\left( {e + 2} \right)x + 3 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 3.\)

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.