Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1}\end{array}} \right.\) (m

Câu hỏi số 727600:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1}\end{array}} \right.\) (m là tham số). Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x,y\) đều là các số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:727600

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình theo tham số;

Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình mới chỉ chứa tham số;

Bước 3. Giải phương trình chứa tham số và kết luận.

Giải chi tiết

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\);

Từ phương trình (1) rút \(x = - my + m + 1\). , thế vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{\rm{\;}}m\left( { - my + m + 1} \right) + y = 3m - 1}\\{}&{\; - {m^2}y + {m^2} + m + y = 3m - 1}\\{}&{\left( {1 - {m^2}} \right)y = - {m^2} + 2m - 1}\\{}&{\;\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)y = - {{(m + 1)}^2}}\end{array}\)

TH1: Nếu \(1 - m = 0\), hay \(m = 1\) thì phương trình trở thành \(0 = - 4\).

Suy ra phương trình vô nghiệm.

TH 2 : Nếu \(1 + m = 0\), hay \(m = - 1\) thì phương trình trở thành \(0 = 0\). Khi đó phương trình đúng với mọi giá trị của \(y\).

Ta thay \(m = - 1\) vào hệ phương trình ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{ - x + y = - 1}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (3) ta có \(x = y\), thế vào phương trình (4) ta được \( - y + y = - 1\), hay \(0 = - 1\). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

TH3: Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne - 1\), suy ra \(m + 1 \ne 0\) và \(m - 1 \ne 0\)

Khi đó từ phương trình \(\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)y = - {(m + 1)^2}\) suy ra

\(y = - \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} = \dfrac{{m - 1 + 2}}{{m - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\)

Vì y là số nguyên nên \(1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\) phải là số nguyên, hay \(\dfrac{2}{{m - 1}}\) là số nguyên. Vậy \(m - 1\) là ước của 2 , tức là \(m - 1 \in \left\{ {1;2; - 1; - 2} \right\}\)

Nếu \(m - 1 = 1\) thì \(m = 2\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = 3\) \(x = - my + m + 1 = - 2 \cdot 3 + 2 + 1 = - 3\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn). Nếu \(m - 1 = 2\) thì \(m = 3\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = 2\) \(x = - my + m + 1 = - 3 \cdot 2 + 3 + 1 = - 2\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn). Nếu \(m - 1 = - 1\) thì \(m = 0\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = - 1\)

\(x = - my + m + 1 = 0.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = 1\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn).

Nếu \(m - 1 = - 2\) thì \(m = - 1\) (loại)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x,y\). đều là các số nguyên thì \(m\) nhận các giá trị nguyên là \(2;3;0\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.