Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1}\end{array}} \right.\) (m

Câu hỏi số 727600:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1}\end{array}} \right.\) (m là tham số). Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x,y\) đều là các số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:727600

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình theo tham số;

Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình mới chỉ chứa tham số;

Bước 3. Giải phương trình chứa tham số và kết luận.

Giải chi tiết

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = m + 1}\\{mx + y = 3m - 1\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\);

Từ phương trình (1) rút \(x = - my + m + 1\). , thế vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{\rm{\;}}m\left( { - my + m + 1} \right) + y = 3m - 1}\\{}&{\; - {m^2}y + {m^2} + m + y = 3m - 1}\\{}&{\left( {1 - {m^2}} \right)y = - {m^2} + 2m - 1}\\{}&{\;\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)y = - {{(m + 1)}^2}}\end{array}\)

TH1: Nếu \(1 - m = 0\), hay \(m = 1\) thì phương trình trở thành \(0 = - 4\).

Suy ra phương trình vô nghiệm.

TH 2 : Nếu \(1 + m = 0\), hay \(m = - 1\) thì phương trình trở thành \(0 = 0\). Khi đó phương trình đúng với mọi giá trị của \(y\).

Ta thay \(m = - 1\) vào hệ phương trình ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{ - x + y = - 1}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (3) ta có \(x = y\), thế vào phương trình (4) ta được \( - y + y = - 1\), hay \(0 = - 1\). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

TH3: Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne - 1\), suy ra \(m + 1 \ne 0\) và \(m - 1 \ne 0\)

Khi đó từ phương trình \(\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)y = - {(m + 1)^2}\) suy ra

\(y = - \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} = \dfrac{{m - 1 + 2}}{{m - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\)

Vì y là số nguyên nên \(1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\) phải là số nguyên, hay \(\dfrac{2}{{m - 1}}\) là số nguyên. Vậy \(m - 1\) là ước của 2 , tức là \(m - 1 \in \left\{ {1;2; - 1; - 2} \right\}\)

Nếu \(m - 1 = 1\) thì \(m = 2\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = 3\) \(x = - my + m + 1 = - 2 \cdot 3 + 2 + 1 = - 3\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn). Nếu \(m - 1 = 2\) thì \(m = 3\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = 2\) \(x = - my + m + 1 = - 3 \cdot 2 + 3 + 1 = - 2\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn). Nếu \(m - 1 = - 1\) thì \(m = 0\), khi đó \(y = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}} = - 1\)

\(x = - my + m + 1 = 0.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = 1\). Cả \(x\) và \(y\) đều nhận giá trị nguyên (thỏa mãn).

Nếu \(m - 1 = - 2\) thì \(m = - 1\) (loại)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x,y\). đều là các số nguyên thì \(m\) nhận các giá trị nguyên là \(2;3;0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link